Determine x para que a série abaixo seja convergente.
sumn=2^+infty x^nln n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o valor de x para que a série sumn=2^+infty x^nln n seja convergente. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e, mais especificamente, os critérios de convergência de séries. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência de séries que envolvem potências como x^n .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série sum an , calculamos o limite L = limn to infty raiz[n]|an| . Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste não é conclusivo. Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Identificamos an = x^nln n . Agora, vamos calcular raiz[n]|an| :
raiz[n]|an| = raiz[n]|x^nln n| = |x|(ln n)^1/n
Isso simplifica para |x| porque (ln n)^1/n tende a 1 quando n vai para o infinito.

Passo 4

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty |x|(ln n)^1/n = |x|
Então, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge se |x| < 1 e diverge se |x| > 1 .

Passo 5

E quanto a |x| = 1 ? O Teste da Raiz não é conclusivo nesse caso, então precisamos analisar separadamente:
  • Se x = 1 , a série se torna sum 1ln n , que diverge porque 1ln n diminui muito lentamente.
  • Se x = -1 , a série se torna sum (-1)^nln n . Mesmo sendo uma série alternada, o termo 1ln n não tende a zero suficientemente rápido para garantir a convergência.

Resposta

A série sumn=2^+infty x^nln n é convergente para todos os valores de x tais que |x| < 1 .

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