Determine para que a série abaixo seja convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o valor de para que a série seja convergente. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e, mais especificamente, os critérios de convergência de séries. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência de séries que envolvem potências como .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite . Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo. Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 3
Identificamos . Agora, vamos calcular :
Isso simplifica para |x| porque (ln n)^1/n tende a 1 quando n vai para o infinito.
Passo 4
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty |x|(ln n)^1/n = |x|
Então, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge se |x| < 1 e diverge se |x| > 1 .
Passo 5
E quanto a |x| = 1 ? O Teste da Raiz não é conclusivo nesse caso, então precisamos analisar separadamente:
Se x = 1 , a série se torna sum 1ln n , que diverge porque 1ln n diminui muito lentamente.
Se x = -1 , a série se torna sum (-1)^nln n . Mesmo sendo uma série alternada, o termo 1ln n não tende a zero suficientemente rápido para garantir a convergência.
Resposta
A série sumn=2^+infty x^nln n é convergente para todos os valores de x tais que |x| < 1 .