Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série é:
Vamos precisar usar conceitos de convergência de séries, como o teste da série absoluta e outros testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então ela é condicionalmente convergente.
Então, vamos começar calculando a série dos valores absolutos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin n <= 1. Então:
1 - 2 sin n
O valor de 1 - 2 sin n pode variar entre 1 - 2 times (-1) = 3 e 1 - 2 times 1 = -1. Isso significa que |1 - 2 sin n| está entre 1 e 3.
Passo 4
Com isso, temos que:
|1-2 sin nn| <= 3n
Agora, consideramos a série comparativa sum 3n, que é uma série harmônica multiplicada por uma constante. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja:
sumn=1^+infty 3n = 3 sumn=1^+infty 1n (diver>=)
Passo 5
Como a série dos valores absolutos da nossa série original é menor ou igual a uma série que diverge, isso nos diz que:
sumn=1^+infty |1-2 sin nn| diver>=
Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, podemos usar o teste da série alternada, que funciona para séries que têm termos que alternam sinais e são decrescentes em módulo, tendendo a zero.
Observamos que 1 - 2 sin n pode ser positivo ou negativo dependendo de n, fazendo com que os termos da série alternem sinais. Além disso, |1 - 2 sin n|n tende a zero quando n cresce.
Passo 7
Aplicando o teste da série alternada, já que os termos estão alternando de sinal e diminuem em módulo para zero, concluímos que a série:
sumn=1^+infty 1-2 sin nn
converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^+infty 1-2 sin nn é condicionalmente convergente.