Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n cdot 1raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sumn=1^+infty(-1)^n cdot 1raizn é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Pra resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência de séries, como o teste da série alternada e o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos, que fica:
sumn=1^+infty | (-1)^n cdot 1raizn | = sumn=1^+infty 1raizn

Passo 3

Agora, essa série sumn=1^+infty 1raizn é uma série do tipo p, onde p = 12. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Como p = 12 <= 1, essa série diverge.

Passo 4

Já que a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos ver se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz).
Para aplicar esse teste, precisamos verificar dois pontos:
  1. Os termos an = 1raizn são positivos e decrescentes.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
Vamos conferir:
  1. Claro, 1raizn é sempre positivo e, conforme n aumenta, 1raizn diminui.
  2. limn to infty 1raizn = 0.
Como os dois pontos são verdadeiros, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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