Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Pra resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência de séries, como o teste da série alternada e o teste da série .
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos, que fica:
Passo 3
Agora, essa série sumn=1^+infty 1raizn é uma série do tipo p, onde p = 12. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. Como p = 12 <= 1, essa série diverge.
Passo 4
Já que a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos ver se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz).
Para aplicar esse teste, precisamos verificar dois pontos:
Os termos an = 1raizn são positivos e decrescentes.
O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
Vamos conferir:
Claro, 1raizn é sempre positivo e, conforme n aumenta, 1raizn diminui.
limn to infty 1raizn = 0.
Como os dois pontos são verdadeiros, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge condicionalmente.