Teste a série quanto a convergência ou divergência
sumn=2^infty (2 n)!(n!)^2

Passo 1

Beleza, queremos saber se a série
sumn=2^infty (2n)!(n!)^2
converge ou diverge. O assunto aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (2n)!(n!)^2
O teste da razão nos diz para calcular
L = limntoinfty |an+1an|
Se L<1 a série converge, se L>1 ela diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos o quociente dos termos:
an+1an = (2n+2)!((n+1)!)^2(2n)!(n!)^2 = (2n+2)(2n+1),(2n)!(n+1)^2,(n!)^2cdot(n!)^2(2n)! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2
Agora calculamos o limite:
L = limntoinfty (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = 4

Passo 4

Como obtivemos L=4>1, o teste da razão garante que a série
sumn=2^infty an
diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois o limite da razão entre termos consecutivos é 4>1.

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