Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n nraizn^3+2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n,nraizn^3+2
e pede para classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries: comparação com p-séries para a parte absoluta e critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, considerando
sumn=1^infty|!(-1)^nnraizn^3+2| =sumn=1^inftynraizn^3+2
Para n grande vale
nraizn^3+2simnn^3/2=1n^1/2,
e sabemos que sum1/n^1/2 diverge (p-série com p=1/2<=1). Portanto, por comparação, a série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternante
sumn=1^infty(-1)^n an, an=nraizn^3+2
  1. Verificamos o limite:
limntoinftyan =limntoinftynraizn^3+2 =limntoinfty1raizn=0
  1. Verificamos que an é decrescente a partir de certo n. Considere
f(x)=xraizx^3+2, x>=1
Calcula-se a derivada:
f'(x) =raizx^3+2-xcdot3x^22raizx^3+2x^3+2 =2(x^3+2)-3x^32(x^3+2)^3/2 =4-x^32(x^3+2)^3/2
Para x>=2 tem x^3>=8, logo f'(x)<=0. Assim an+1<an para n>=2.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como anto0 e é decrescente a partir de n=2, a série alternante converge.

Passo 5

Concluímos que a série não converge absolutamente, mas converge alternadamente. Ou seja, é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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