• Exercício 14: Resolva o sistema linear 4 times 4 abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi (com 3 iterações):
x+y+z+7 w=16
5 x+y+z+w=10
x+4 y+z+w=12
x+y+3 z+w=14
  • Verifique a convergência do método para este sistema.
  • Teste diferentes condições iniciais e observe a influência nas iterações.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + y + z + 7w = 16, 5x + y + z + w = 10, x + 4y + z + w = 12, x + y + 3z + w = 14
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi por 3 iterações, verificar se o método converge e testar diferentes condições iniciais. O conteúdo aqui é o método de Jacobi para sistemas lineares: isolamos cada variável em sua equação e iteramos.

Passo 2

Isolando cada variável em cada equação, obtemos as fórmulas de iteração
x = 16 - l(y + z + 7wr),
y = 10 - l(5x + z + wr),
z = 12 - l(x + 4y + wr),
w = 14 - l(x + y + 3zr)
Chamando l(x^(k),y^(k),z^(k),w^(k)r) a aproximação na k-ésima iteração, definimos
x^(k+1) = 16 - l(y^(k) + z^(k) + 7,w^(k)r),
y^(k+1) = 10 - l(5,x^(k) + z^(k) + w^(k)r),
z^(k+1) = 12 - l(x^(k) + 4,y^(k) + w^(k)r),
w^(k+1) = 14 - l(x^(k) + y^(k) + 3,z^(k)r)

Passo 3

Para verificar convergência, aplicamos o critério da dominância diagonal linha a linha: numa matriz A=(aij) precisamos de
|aii| > sumjneq i |aij|
A primeira linha tem |a11|=1 e soma dos outros |1|+|1|+|7|=9, logo 1<9. As demais linhas também falham. Portanto a matriz não é estritamente diagonalmente dominante e o método de Jacobi não está garantido a convergir.

Passo 4

Fazendo 3 iterações com condição inicial l(x^(0),y^(0),z^(0),w^(0)r)=(0,0,0,0):
Iteração 1
x^(1)=16 - (0+0+7cdot0)=16, y^(1)=10 - (5cdot0+0+0)=10,
z^(1)=12 - (0+4cdot0+0)=12, w^(1)=14 - (0+0+3cdot0)=14
Iteração 2
x^(2)=16 - (10+12+7cdot14)=16 - 120 = -104,
y^(2)=10 - (5cdot16+12+14)=10 - 106 = -96,
z^(2)=12 - (16+4cdot10+14)=12 - 70 = -58,
w^(2)=14 - (16+10+3cdot12)=14 - 62 = -48
Iteração 3
x^(3)=16 - (-96 -58 +7cdot(-48))=16 - (-490)=506,
y^(3)=10 - (5cdot(-104) -58 -48)=10 -(-626)=636,
z^(3)=12 - (-104 -384 -48)=12 -(-536)=548,
w^(3)=14 - (-104 -96 -174)=14 -(-374)=388
Os valores explodem em módulo, sinal de divergência.

Passo 5

Testando outra condição inicial qualquer, por exemplo l(1,1,1,1r):
Iteração 1
x^(1)=16 - (1+1+7cdot1)=7, y^(1)=10 - (5cdot1+1+1)=3,
z^(1)=12 - (1+4cdot1+1)=6, w^(1)=14 - (1+1+3cdot1)=9
Iteração 2
x^(2)=16 - (3+6+7cdot9)=16 - 72 = -56,
e assim por diante já vemos valores crescendo em módulo. Isso confirma que a escolha inicial não resolve a divergência.

Resposta

O método de Gauss–Jacobi não converge para este sistema: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante e, nas iterações, os valores explodem em módulo independentemente da condição inicial.

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