Exercício 14: Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi (com 3 iterações):
Verifique a convergência do método para este sistema.
Teste diferentes condições iniciais e observe a influência nas iterações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi por 3 iterações, verificar se o método converge e testar diferentes condições iniciais. O conteúdo aqui é o método de Jacobi para sistemas lineares: isolamos cada variável em sua equação e iteramos.
Passo 2
Isolando cada variável em cada equação, obtemos as fórmulas de iteração
x = 16 - l(y + z + 7wr),
y = 10 - l(5x + z + wr),
z = 12 - l(x + 4y + wr),
w = 14 - l(x + y + 3zr)
Chamando l(x^(k),y^(k),z^(k),w^(k)r) a aproximação na k-ésima iteração, definimos
x^(k+1) = 16 - l(y^(k) + z^(k) + 7,w^(k)r),
y^(k+1) = 10 - l(5,x^(k) + z^(k) + w^(k)r),
z^(k+1) = 12 - l(x^(k) + 4,y^(k) + w^(k)r),
w^(k+1) = 14 - l(x^(k) + y^(k) + 3,z^(k)r)
Passo 3
Para verificar convergência, aplicamos o critério da dominância diagonal linha a linha: numa matriz A=(aij) precisamos de
|aii| > sumjneq i |aij|
A primeira linha tem |a11|=1 e soma dos outros |1|+|1|+|7|=9, logo 1<9. As demais linhas também falham. Portanto a matriz não é estritamente diagonalmente dominante e o método de Jacobi não está garantido a convergir.
Passo 4
Fazendo 3 iterações com condição inicial l(x^(0),y^(0),z^(0),w^(0)r)=(0,0,0,0):
e assim por diante já vemos valores crescendo em módulo. Isso confirma que a escolha inicial não resolve a divergência.
Resposta
O método de Gauss–Jacobi não converge para este sistema: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante e, nas iterações, os valores explodem em módulo independentemente da condição inicial.