Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n arctg nn^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty (-1)^narctan nn^2
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é testar a convergência absoluta, usando comparação com uma série conhecida (série p com p=2).

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftygl|(-1)^narctan nn^2gr| =sumn=1^inftyarctan nn^2
Como arctan n é crescente e está limitada por pi/2, temos
0 <= arctan nn^2 <= pi/2n^2
Sabemos que
sumn=1^infty1n^2
é convergente (série p com p=2>1). Pelo teste da comparação direta, segue que
sumn=1^inftyarctan nn^2
converge também. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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