Exercício 15: Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi:
Verifique a convergência do método para este sistema.
A condição iniciais [0,1 0,1 0,1].
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
pede para resolver usando o método iterativo de Gauss–Jacobi, verificar se esse método converge e usar a condição inicial (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,1,,0,1,,0,1). O conteúdo envolvido é montagem da forma iterativa
x^(k+1) = D^-1(b - (L+U),x^(k))
e critério de convergência (dominância diagonal ou raio espectral).
Passo 2
Reescrevemos cada equação isolando a incógnita do termo diagonal:
x = 11 - y - 10z2, y = 10 - x - 2z10, z = 9 - 10x - 2y
Daí as fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi são, para k>=0,
x^(k+1) = 11 - y^(k) - 10,z^(k)2,
y^(k+1) = 10 - x^(k) - 2,z^(k)10,
z^(k+1) = 9 - 10,x^(k) - 2,y^(k)
Passo 3
Para verificar convergência pelo critério de dominância diagonal, observamos as linhas da matriz
A = 2&1&101&10&210&2&1
Em cada linha com índice i devemos ter
|aii| > sumjneq i|aij|
— Linha 1: |2| stackrel?> |1|+|10| =11 não vale.
— Linha 2: |10| > |1|+|2|=3 vale.
— Linha 3: |1| stackrel?> |10|+|2|=12 não vale.
Como não há dominância diagonal em todas as linhas, o critério clássico falha.
Passo 4
Podemos também usar norma infinita para o matriz de iteração M=D^-1(L+U). Calcula-se
O método de Gauss–Jacobi não converge para este sistema (falta dominância diagonal e |M|infty>1), logo não se obtém aproximação via iteração a partir da condição inicial dada.