Verifique se
converge ou não.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, séries geométricas. Para resolver, vamos separar os termos de índice par e ímpar e reconhecer somas geométricas.
Passo 2
Observe o expoente
em dois casos:
- Se
é ímpar, , então e
logo
- Se
é par, , então e
logo
Passo 3
Escrevemos a soma original como a soma dos termos ímpares mais a soma dos termos pares:
Passo 4
Cada uma dessas somas é geométrica:
- Para os ímpares,
Então
- Para os pares,
logo
Passo 5
Somando os dois resultados, obtemos
Portanto a série converge (absolutamente) e tem soma igual a
.
Resposta
A série converge e