Verifique se sumn=1^infty 12^n+1+(-1)^n converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty12^,n+1+(-1)^n
O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, séries geométricas. Para resolver, vamos separar os termos de índice par e ímpar e reconhecer somas geométricas.

Passo 2

Observe o expoente n+1+(-1)^n em dois casos:
  • Se n é ímpar, n=2k-1, então (-1)^n=-1 e
n+1+(-1)^n = (2k-1)+1-1 = 2k-1,
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a2k-1=12^2k-1
  • Se n é par, n=2k, então (-1)^n=1 e
n+1+(-1)^n = 2k+1+1 = 2k+2,
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a2k=12^2k+2

Passo 3

Escrevemos a soma original como a soma dos termos ímpares mais a soma dos termos pares:
sumn=1^infty an =sumk=1^infty a2k-1 ;+;sumk=1^infty a2k =sumk=1^infty 12^2k-1 +sumk=1^infty 12^2k+2

Passo 4

Cada uma dessas somas é geométrica:
  1. Para os ímpares,
12^2k-1 =22^2k =2l(14r)^k
Então
sumk=1^infty 12^2k-1 =2sumk=1^infty l(tfrac14r)^k =2cdottfrac141-tfrac14 =2cdot1/43/4 =23
  1. Para os pares,
12^2k+2 =14,l(14r)^k,
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sumk=1^infty 12^2k+2 =14sumk=1^infty l(tfrac14r)^k =14cdottfrac141-tfrac14 =112

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
sumn=1^infty 12^,n+1+(-1)^n =23+112 =812+112 =912 =34
Portanto a série converge (absolutamente) e tem soma igual a tfrac34.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty12^,n+1+(-1)^n=34

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