Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1(n+1)^34

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1(n+1)^tfrac34
O conteúdo envolve (i) teste de convergência absoluta, que usa p-séries, e (ii) teste de convergência de séries alternantes (critérios de Leibniz).

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é,
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1(n+1)^tfrac34r| =sumn=1^infty1(n+1)^tfrac34
Isto é uma p-série com p=tfrac34<1. Sabemos que p-séries com p<=1 divergem. Logo a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternantes. Seja
an=1(n+1)^tfrac34
Precisamos checar que (i) an é decrescente para n>=1 (o denominador cresce, logo a fração decresce) e (ii)
limntoinftyan =limntoinfty1(n+1)^tfrac34 =0
Como ambas as condições do critério de Leibniz são satisfeitas, a série alternante converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge segundo o critério de Leibniz, mas não converge absolutamente (a p-série de expoente tfrac34 diverge). Portanto trata-se de convergência condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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