Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty (-3)^n+12^3 n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=2^infty(-3)^n+12^3n
O conteúdo aqui é identificação de série geométrica e aplicação do critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral como uma série geométrica. Note que
(-3)^n+12^3n = (-3),(-3)^n(2^3)^n = (-3)gl(-38gr)^n

Passo 3

Portanto a série pode ser vista como
sumn=2^infty(-3)gl(-38gr)^n = (-3)sumn=2^inftygl(-38gr)^n,
que é geométrica de razão
r = -38
Como lvert rrvert = tfrac38<1, a série geométrica converge.

Passo 4

Além disso, a série converge absolutamente, pois a série de termos positivos
sum (3/8)^n também converge. Se quisermos, podemos calcular a soma:
sumn=2^inftygl(-38gr)^n =l(-tfrac38r)^21-(-tfrac38) =tfrac9641+tfrac38 =9/6411/8 =988,
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sumn=2^infty(-3)^n+12^3n =(-3)cdot988 =-2788

Resposta

A série converge absolutamente (é geométrica com razão -tfrac38, lvert rrvert<1) e sua soma é -tfrac2788.

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