Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
11. $ \sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{\sqrt{n}}{n+1} $

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(-1)^n-1raiznn+1. O conteúdo principal aqui é convergência de séries alternantes, e vamos precisar usar o teste de convergência absoluta (comparação assintótica com p-séries) e o teste de Leibniz (alternância com termos decrescentes que tendem a zero).

Passo 2

Para testar convergência absoluta, consideramos sumn=1^inftyl|(-1)^n-1raiznn+1r| = sumn=1^inftyraiznn+1. Para grandes n,
raiznn+1simraiznn=1raizn,
e a série sum1/raizn é uma p-série com p=1/2, que diverge pois p<=1. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora avaliamos a convergência condicional pelo teste de Leibniz. Definimos an=raiznn+1. Primeiro,
limntoinftyan=limntoinftyraiznn+1=0

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar que (an) é decrescente para n grande. Considere a função f(x)=raizxx+1 no contínuo. Calculando a derivada,
f'(x)=1-x2raizx,(x+1)^2,
notamos que para x>1 vale f'(x)<0, ou seja, f (e portanto an=f(n)) é decrescente a partir de n=2.
Como an tende a zero e é decrescente, pelo teste de Leibniz a série alternante converge.

Passo 5

Já que não há convergência absoluta, mas existe convergência pelo teste de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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