Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
15. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5^{n-1}}{(n+1)^{2} 4^{n+2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}5^{n-1}}{(n+1)^{2}4^{n+2}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo aqui envolve testar convergência absoluta (por exemplo, com o teste da raiz ou da razão) e, se necessário, a convergência de séries alternadas.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}5^{n-1}}{(n+1)^{2}4^{n+2}}.
Para verificar convergência absoluta, consideramos
|a_{n}| = \frac{5^{n-1}}{(n+1)^{2}4^{n+2}} = \frac{1}{5\cdot 4^{2}}\;\frac{5^{n}}{4^{n}}\;\frac{1}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{80}\,\frac{\bigl(\tfrac54\bigr)^{n}}{(n+1)^{2}}.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz em |a_{n}|. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{80}}\;\sqrt[n]{\bigl(\tfrac54\bigr)^{n}}\;\sqrt[n]{\frac{1}{(n+1)^{2}}} = 1\cdot \frac{5}{4}\cdot 1 = \frac{5}{4}.
Como L=\tfrac54>1, o teste da raiz garante que \sum|a_{n}| diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Antes de considerar convergência condicional, verificamos a condição necessária de convergência de qualquer série: deve ter a_{n}\to0. Mas, como vimos, |a_{n}| cresce aproximadamente como (5/4)^{n}/n^{2}, que tende a +\infty. Em particular
\lim_{n\to\infty}a_{n}\text{ não é }0,ãé
portanto a série original nem sequer converge.

Resposta

A série é divergente.

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