Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
17. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 2 n}{n^{2}}

Passo 1

Resumindo: temos a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n)}{n^{2}}.
O conteúdo é teste de convergência absoluta usando comparação com p-série. Vamos usar que, se \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} converge absolutamente, e que a p-série \sum 1/n^{p} converge para p>1.

Passo 2

Para estudar convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin(2n)}{n^{2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin(2n)|}{n^{2}}.
Como |\sin(2n)|\le1, temos
\frac{|\sin(2n)|}{n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}},
e sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (p-série com p=2). Logo, por comparação, \sum_{n=1}^{\infty}|\sin(2n)/n^{2}| converge,
então a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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