Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
18. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \operatorname{arctg} n}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\arctan(n)}{n^{3}}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries alternadas e, em particular, verificar se ela é absolutamente convergente.

Passo 2

Analisamos a série das magnitudes:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\arctan(n)}{n^{3}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{3}}.
Como para todo n vale \arctan(n)<\tfrac{\pi}{2}, temos
\frac{\arctan(n)}{n^{3}}<\frac{\pi/2}{n^{3}}.
Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} é uma p-série com p=3>1, logo converge. Pelo teste de comparação, \sum \tfrac{\arctan(n)}{n^{3}} também converge.

Passo 3

Como a série das magnitudes converge, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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