Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-10)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-10)^{n}}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas; vamos usar o Critério da Razão (d’Alembert).

Passo 2

Defina a_{n} = \frac{n!}{(-10)^{n}}. Então
\bigl|a_{n+1}\bigr| = \frac{(n+1)!}{10^{\,n+1}} \quad\text{e}\quad \bigl|a_{n}\bigr| = \frac{n!}{10^{\,n}}.
Calculamos a razão
\frac{\bigl|a_{n+1}\bigr|}{\bigl|a_{n}\bigr|} = \frac{(n+1)!}{10^{\,n+1}}\;\Big/\;\frac{n!}{10^{\,n}} = \frac{n+1}{10}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{10} = +\infty > 1,
o Critério da Razão garante que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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