Teste a série quanto a convergência ou divergência.
  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{n^2+1}.
Este é um exercício de séries numéricas de termos positivos, em que normalmente aplicamos o teste da comparação direta ou o teste de comparação limite.

Passo 2

Para usar o teste de comparação direta, examinamos o comportamento assintótico do termo geral. Note que, para todo n\ge1,
n^2+1 > n^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{n}}{n^2+1} < \frac{\sqrt{n}}{n^2} = n^{-3/2}.

Passo 3

Sabemos que \sum_{n=1}^\infty n^{-3/2} é uma p-série com p=\tfrac32>1, logo ela converge. Como cada termo \tfrac{\sqrt{n}}{n^2+1} é limitado superiormente por n^{-3/2}, pelo teste da comparação direta a série dada também converge.

Resposta

A série converge.

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