Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a) sumn=1^infty(-23)^n
b) sumn=1^infty(-1)^n 2^nn^3
c) sumn=1^infty(-1)^n+1 2^nn!
d) sumn=1^infty n(23)^n
e) sumn=1^infty n^2n!
f) sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!
g) sumn=1^infty 1n ln n
h) sumn=1^infty(raiz[n]2-1)^n
i) sumn=1^infty cos nn^2
j) sumn=1^infty n^22^n
k) sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1
l) sumn=1^infty 1raizn(raizn+1)
m) sumn=1^infty (-3)^n+12^3 n
n) sumn=1^infty ln nn^2
o) sumn=1^infty 1-2 sen nn^3
p) sumn=1^infty e^1 / nn^2
q) sumn=1^infty(10-nn)^n
r) sumn=1^infty 3^n n^2n!
s) sumn=1^infty(1- rac1n)^n^2
t) sumn=1^infty sen pi nn
u) sumn=4^infty(1n-3-1n)
v) sumn=2^infty 1(ln n)^ln n
w) sumn=2^infty 1(ln n)^n
x) sumn=1^infty(-11,03)^n n^3

Passo 1

O enunciado pede para cada série classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar:
  • Teste da série geométrica ( sum r^n converge se lvert rrvert<1).
  • Teste da razão de D’Alembert ( limntoinftylvert an+1/anrvert).
  • Teste da raiz de Cauchy ( limntoinftyraiz[n]lvert anrvert).
  • Teste da série alternada de Leibniz (se an>=0, decrescente e anto0, então sum(-1)^n an converge).
  • Comparações com séries-p ou série de fatoriais.
  • Teste da forma geral (termos não tendendo a zero implica divergência).
  • Para séries telescópicas, somatório das diferenças sucessivas.

Passo 2

a) sumn=1^inftyl(-tfrac23r)^n e
m) sumn=1^infty(-3)^n+12^3n
são geométricas:
a);r=-tfrac23,lvert rrvert=tfrac23<1;Rightarrow;conver>= absolutamente
m);r=-(-3)2^3=-38,lvert rrvert=tfrac38<1;Rightarrow;conver>= absolutamente

Passo 3

b) sum(-1)^n2^nn^3 e
k) sum(-1)^n-1nn^2+1
— primeiro verificamos se anto0:
b);an=tfrac2^nn^3toinfty,não tende a 0;Rightarrow;diver>=ã
k);an=nn^2+1sim1nto0
e an é decrescente a partir de certo n, então por Leibniz a série converge. Como sum|an|simsum1n diverge, concluímos que é condicional.

Passo 4

c) sum(-1)^n+12^nn!,
e) sumn^2n!,
f) sum(-1)^n+11(2n-1)!,
r) sum3^n n^2n!
– aplicamos o teste da razão: em cada caso
L=limntoinftylvert an+1rvertlvert anrvert=0<1,
logo todas convergem absolutamente.

Passo 5

d) sum nl(tfrac23r)^n,
j) sumn^22^n,
x) suml(-tfrac11,03r)^n n^3
– também usamos o teste da razão: em cada caso
L=limntoinftyan+1an =tfrac23,;tfrac12,;tfrac11,03<1,
portanto todas convergem absolutamente.

Passo 6

h) sum(raiz[n]2-1)^n,
s) suml(1-tfrac1nr)^n^2,
w) sum1(ln n)^n
– usamos o teste da raiz:
h);raiz[n]|an|=raiz[n]2-1to0<1, s);raiz[n]an=(1-tfrac1n)^nto e^-1<1, w);raiz[n]an=1ln nto0<1
Logo todas convergem absolutamente.

Passo 7

q) suml(tfrac10-nnr)^n.
O termo geral não tende a zero, pois
l|tfrac10-nnr|^n =l|1-tfrac10nr|^nto e^-10neq0,
logo a série diverge por teste do termo geral.

Passo 8

g) sum1nln n e
l) sum1raiz n(raiz n+1).
Comparação ou integral dá divergência, pois sum1/(nln n) diverge (caso limite de p-série com log) e
tfrac1raiz n(raiz n+1)simtfrac1n também diverge.

Passo 9

i) sumcos nn^2,
o) sum1-2sin nn^3,
n) sumln nn^2,
p) sume^1/nn^2,
v) sum1(ln n)^ln n.
Em todos, lvert anrvert é comparável a uma série-p com expoente >1 ou decresce exponencialmente/polynomialmente dominado por factorial, então por comparação ou condensação todas convergem absolutamente.

Passo 10

t) sumsin(pi n)n e
u) sumn=4^inftyl(1n-3-1nr).
Para t), sin(pi n)=0 para todo n, logo a soma é zero e convergente (absoluta trivially).
Para u), é série telescópica cujo somatório parcial tende a
11+12+13-lim(três ú<imos termos)=11/6êú, portanto converge (toda a série é de termos positivos, logo absolutamente).

Resposta

a) absolutamente convergente
b) divergente
c) absolutamente convergente
d) absolutamente convergente
e) absolutamente convergente
f) absolutamente convergente
g) divergente
h) absolutamente convergente
i) absolutamente convergente
j) absolutamente convergente
k) condicionalmente convergente
l) divergente
m) absolutamente convergente
n) absolutamente convergente
o) absolutamente convergente
p) absolutamente convergente
q) divergente
r) absolutamente convergente
s) absolutamente convergente
t) absolutamente convergente
u) absolutamente convergente
v) absolutamente convergente
w) absolutamente convergente
x) absolutamente convergente

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