Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
Passo 1
O enunciado pede para cada série classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar:
Teste da série geométrica ( converge se ).
Teste da razão de D’Alembert ().
Teste da raiz de Cauchy ().
Teste da série alternada de Leibniz (se , decrescente e , então converge).
Comparações com séries-p ou série de fatoriais.
Teste da forma geral (termos não tendendo a zero implica divergência).
Para séries telescópicas, somatório das diferenças sucessivas.
Passo 2
a) e
m)
são geométricas:
Passo 3
b) e
k)
— primeiro verificamos se :
e é decrescente a partir de certo , então por Leibniz a série converge. Como diverge, concluímos que é condicional.
Passo 4
c) ,
e) ,
f) ,
r)
– aplicamos o teste da razão: em cada caso
logo todas convergem absolutamente.
Passo 5
d) ,
j) ,
x)
– também usamos o teste da razão: em cada caso
portanto todas convergem absolutamente.
Passo 6
h) ,
s) ,
w)
– usamos o teste da raiz:
Logo todas convergem absolutamente.
Passo 7
q) .
O termo geral não tende a zero, pois
logo a série diverge por teste do termo geral.
Passo 8
g) sum1nln n e
l) sum1raiz n(raiz n+1).
Comparação ou integral dá divergência, pois sum1/(nln n) diverge (caso limite de p-série com log) e tfrac1raiz n(raiz n+1)simtfrac1n também diverge.
Passo 9
i) sumcos nn^2,
o) sum1-2sin nn^3,
n) sumln nn^2,
p) sume^1/nn^2,
v) sum1(ln n)^ln n.
Em todos, lvert anrvert é comparável a uma série-p com expoente >1 ou decresce exponencialmente/polynomialmente dominado por factorial, então por comparação ou condensação todas convergem absolutamente.
Passo 10
t) sumsin(pi n)n e
u) sumn=4^inftyl(1n-3-1nr).
Para t), sin(pi n)=0 para todo n, logo a soma é zero e convergente (absoluta trivially).
Para u), é série telescópica cujo somatório parcial tende a 11+12+13-lim(três ú<imos termos)=11/6êú, portanto converge (toda a série é de termos positivos, logo absolutamente).