Encontre parametrizações suaves por partes para as curvas a seguir
O quadrado no plano x y cujos vértices são (3,0),(3,3),(0,3) e (0,0).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização suave por partes do contorno do quadrado cujos vértices, em ordem, são (3,0)to(3,3)to(0,3)to(0,0)to(3,0). O conteúdo aqui é saber expressar cada aresta como uma função de um parâmetro t, garantindo que em cada pedaço a função seja suave (infinitamente diferenciável) e que no fim cubra todo o contorno.

Passo 2

Vamos escolher como domínio do parâmetro o intervalo [0,4] e dividir em quatro subintervalos de comprimento 1, cada um correspondendo a uma aresta:
  • aresta 1: tin[0,1],
  • aresta 2: tin[1,2],
  • aresta 3: tin[2,3],
  • aresta 4: tin[3,4].

Passo 3

Agora, para cada aresta, escrevemos as componentes (x(t),y(t)):
1. De (3,0) a (3,3): x=3 constante e y cresce de 0 a 3, logo
x(t)=3, y(t)=3t, tin[0,1]
2. De (3,3) a (0,3): y=3 constante e x decresce de 3 a 0, logo
x(t)=3(2-t), y(t)=3, tin[1,2]
3. De (0,3) a (0,0): x=0 constante e y decresce de 3 a 0, logo
x(t)=0, y(t)=3(3-t), tin[2,3]
4. De (0,0) a (3,0): y=0 constante e x cresce de 0 a 3, logo
x(t)=3(t-3), y(t)=0, tin[3,4]

Passo 4

Juntando tudo, obtemos a parametrização por partes
r(t)= l(3,;3tr),&0<= t<=1,[6pt] l(3(2-t),;3r),&1<= t<=2,[6pt] l(0,;3(3-t)r),&2<= t<=3,[6pt] l(3(t-3),;0r),&3<= t<=4
Em cada intervalo r(t) é uma função afim de t, logo suave, e os pedaços se encaixam nos vértices. Dessa forma percorremos todo o contorno do quadrado no sentido anti-horário.]

Resposta

r(t)= l(3,;3tr),&0<= t<=1,[6pt] l(3(2-t),;3r),&1<= t<=2,[6pt] l(0,;3(3-t)r),&2<= t<=3,[6pt] l(3(t-3),;0r),&3<= t<=4 ]

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