Encontre parametrizações suaves por partes para as curvas a seguir
O quadrado no plano cujos vértices são e .
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização suave por partes do contorno do quadrado cujos vértices, em ordem, são . O conteúdo aqui é saber expressar cada aresta como uma função de um parâmetro , garantindo que em cada pedaço a função seja suave (infinitamente diferenciável) e que no fim cubra todo o contorno.
Passo 2
Vamos escolher como domínio do parâmetro o intervalo e dividir em quatro subintervalos de comprimento , cada um correspondendo a uma aresta:
aresta : ,
aresta : ,
aresta : ,
aresta : .
Passo 3
Agora, para cada aresta, escrevemos as componentes : . De a : constante e cresce de a , logo
. De a : constante e decresce de a , logo
. De a : constante e decresce de a , logo
. De a : constante e cresce de a , logo
Passo 4
Juntando tudo, obtemos a parametrização por partes
Em cada intervalo r(t) é uma função afim de t, logo suave, e os pedaços se encaixam nos vértices. Dessa forma percorremos todo o contorno do quadrado no sentido anti-horário.]