g(x)=c 2 xL, 0 <= x <= L2 2(L-x)L, L2<x <= L
faça os passos descritos a seguir.
(a) Encontre o deslocamento u(x, t). Res: u(x, t)=8 La pi^3 sumn=1^infty 1n^3 sin (n pi2) sin (n pi xL) sin (n pi a tL).

Passo 1

O enunciado trata da corda de comprimento
com condições de contorno
e condições iniciais
onde
Vamos usar separação de variáveis e expandir .]

Passo 2

A solução geral por separação de variáveis é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancosl(tfracnpi a tLr)+Bnsinl(tfracnpi a tLr)r)sinl(tfracnpi xLr)
Impondo u(x,0)=0 obtemos An=0.
Impondo ut(x,0)=g(x) temos
ut(x,0)=sumn=1^inftyBn,npi aL,sinl(tfracnpi xLr)=g(x),
de onde, pelos coeficientes de Fourier,
Bn=2npi aintegral0^Lg(x),sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Vamos calcular a integral
integral0^Lg(x),sinl(tfracnpi xLr),dx =integral0^L/22xLsinl(tfracnpi xLr),dx +integralL/2^L2(L-x)Lsinl(tfracnpi xLr),dx
Cada termo pode ser resolvido por partes ou usando identidades de senos.

Passo 4

Após executar as integrais, chega-se ao resultado simples
integral0^Lg(x),sinl(tfracnpi xLr),dx =4Ln^2pi^2, sinl(tfracnpi2r)
Logo
Bn =2npi a;4Ln^2pi^2 sinl(tfracnpi2r) =8Lapi^3n^3 sinl(tfracnpi2r)

Passo 5

Substituindo Bn na série de u(x,t), obtemos
u(x,t) =sumn=1^inftyBn, sinl(tfracnpi xLr) sinl(tfracnpi a tLr) =8Lapi^3 sumn=1^infty1n^3 sinl(tfracnpi2r) sinl(tfracnpi xLr) sinl(tfracnpi a tLr)

Resposta

u(x,t) =8Lapi^3 sumn=1^infty1n^3 sinl(tfracnpi2r) sinl(tfracnpi xLr) sinl(tfracnpi a tLr)

Exercícios relacionados