Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}=\frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}
é telescópica e que sua soma converge para \tfrac{3}{4}.
Conteúdo: séries infinitas, decomposição em frações parciais e telescopia.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{1}{n^{2}-1}
pois n^{2}-1=(n-1)(n+1). Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1), obtemos
1 = A(n+1) + B(n-1).
Para todos os n, isso exige
A+B = 0 \quad\text{e}\quad A - B = 1.
Resolvendo, A=\tfrac12 e B=-\tfrac12. Logo
\frac{1}{n^{2}-1} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{n-1} \;-\;\frac{1}{2}\,\frac{1}{n+1}.

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^{2}-1} = \frac12\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Escrevendo alguns termos, vemos a telescopia:
S_{N} = \frac12\Bigl[ (\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{3}) +(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}) +(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}) +\cdots +(\tfrac{1}{N-1}-\tfrac{1}{N+1}) \Bigr].
Os termos \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\dots,\tfrac{1}{N-1} cancelam em pares, sobrando
S_{N} = \frac12\Bigl( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} \Bigr).

Passo 4

Para obter a soma da série, fazemos N\to\infty. Como \tfrac{1}{N}\to0 e \tfrac{1}{N+1}\to0, fica
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1} = \lim_{N\to\infty} S_{N} = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12\Bigr) = \frac12\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4}.

Resposta

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1} = \frac{3}{4}.

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