Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é telescópica e que sua soma converge para
.
Conteúdo: séries infinitas, decomposição em frações parciais e telescopia.
Conteúdo: séries infinitas, decomposição em frações parciais e telescopia.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
pois
. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para todos os
, isso exige
Resolvendo,
e
. Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
Escrevendo alguns termos, vemos a telescopia:
Os termos
cancelam em pares, sobrando
Passo 4
Para obter a soma da série, fazemos
. Como
e
, fica