Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da divergência (termo geral não nulo) e, em seguida, comentar sobre convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos o limite do termo geral da série. Seja
a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac1{n^{2}}} =1.
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\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}
não existe (oscila entre +1 e -1) e, em particular, não é zero.

Passo 3

Pelo teste da divergência (ou critério do termo geral), se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0 a série necessariamente diverge. Assim, sem nem precisar dos testes de convergência absoluta ou alternada, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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