Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{2}+1}
\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da divergência (termo geral não nulo) e, em seguida, comentar sobre convergência absoluta.
Passo 2
Verificamos o limite do termo geral da série. Seja
Calculamos
Logo
não existe (oscila entre
e
) e, em particular, não é zero.
Passo 3
Pelo teste da divergência (ou critério do termo geral), se
a série necessariamente diverge. Assim, sem nem precisar dos testes de convergência absoluta ou alternada, concluímos que a série diverge.
Resposta
A série diverge.