Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado considera a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5n+1}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar dois testes:
  1. teste de convergência absoluta (comparação com a série harmônica)
  2. critério de Leibniz (alternating series test)

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^{n}}{5n+1}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5n+1}.
Fazemos o teste da comparação assintótica com a série harmônica \sum1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{5n+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+1} =\frac{1}{5}\in(0,\infty).
Como \sum1/n diverge e o limite é finito e não nulo, a série \sum1/(5n+1) também diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n},\quad a_{n}=\frac{1}{5n+1}.
Verificamos dois pontos:
  1. a_{n}>0 e é estritamente decrescente, pois
a_{n+1}=\frac{1}{5(n+1)+1}=\frac{1}{5n+6} <\frac{1}{5n+1}=a_{n}.
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5n+1}=0.
    Como ambos os requisitos do critério de Leibniz estão satisfeitos, a série converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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