Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5 n+1}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{5 n+1}
Passo 1
O enunciado considera a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar dois testes:
- teste de convergência absoluta (comparação com a série harmônica)
- critério de Leibniz (alternating series test)
Passo 2
Analisando a convergência absoluta, consideramos
Fazemos o teste da comparação assintótica com a série harmônica
. Calculamos
Como
diverge e o limite é finito e não nulo, a série
também diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
Verificamos dois pontos:
-
e é estritamente decrescente, pois
-
Como ambos os requisitos do critério de Leibniz estão satisfeitos, a série converge.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.