Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n-1}}{\sqrt[3]{n{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{n^2}}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o critério de p-série para a convergência absoluta e o teste de Leibniz (séries alternadas) para a convergência condicional.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt[3]{n^2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}}.
Isto é uma p-série com p=\tfrac{2}{3}\le1. Pelo teste da p-série, ela diverge (pois só converge se p>1). Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos
a_n=\frac{1}{n^{2/3}}.
Observamos que:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{-2/3}=0.
  3. A sequência (a_n) é monótona decrescente, pois a função x\mapsto x^{-2/3} decresce em (0,\infty).
Pelas condições do teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
converge.

Passo 4

Concluímos que a série original converge (pelo teste de Leibniz), mas não converge absolutamente (p-série com p\le1 diverge). Portanto, trata-se de convergência condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados