em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o critério de p-série para a convergência absoluta e o teste de Leibniz (séries alternadas) para a convergência condicional.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Isto é uma p-série com p=\tfrac{2}{3}\le1. Pelo teste da p-série, ela diverge (pois só converge se p>1). Logo, não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos
a_n=\frac{1}{n^{2/3}}.
Observamos que:
a_n>0 para todo n.
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{-2/3}=0.
A sequência (a_n) é monótona decrescente, pois a função x\mapsto x^{-2/3} decresce em (0,\infty).
Pelas condições do teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
converge.
Passo 4
Concluímos que a série original converge (pelo teste de Leibniz), mas não converge absolutamente (p-série com p\le1 diverge). Portanto, trata-se de convergência condicional.