Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-n}{n^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar:
  • o teste da condição necessária (termo geral tende a zero),
  • o estudo da convergência da série de valores absolutos,
  • e um teste de comparação ou integral para a série original.

Passo 2

Verificamos o termo geral
a_{n} = \frac{-n}{n^{2}+1}.
Uma condição necessária para que a série convirja é \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{-n}{n^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{n+1/n} =0.
Logo, a condição necessária está satisfeita, mas isso não garante convergência.

Passo 3

Analisamos a convergência absoluta, estudando
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Para n\ge1 temos n^{2}+1\le2n^{2}, então
\frac{n}{n^{2}+1}\ge\frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}.
Como a série harmônica \sum1/(2n) diverge, pelo teste de comparação a série de valores absolutos diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Já que todos os termos a_{n} são negativos, podemos ver
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
E como acabamos de mostrar que \sum n/(n^{2}+1) diverge (vai para +\infty), essa soma vai para -\infty. Em particular ela não converge (nem condicionalmente).

Resposta

A série é divergente.

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