Teste a série quanto a convergência ou divergência.
5. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{2}}
quanto à convergência ou divergência. Aqui vamos usar dois critérios: o critério de Leibniz (alternating series test) para verificar convergência condicional e um teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste de condensação de Cauchy).
Passo 2
Aplicando o critério de Leibniz para séries alternantes, definimos
a_{n}=\frac{1}{(\ln n)^{2}}.
Precisamos checar que para n suficientemente grande:
a_{n}>0.
a_{n} é decrescente.
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
É claro que a_{n}>0 para todo n\ge2.
Considere f(x)=1/(\ln x)^{2} para x>1. Calculando a derivada,