Teste a série quanto a convergência ou divergência.
5. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{2}}
quanto à convergência ou divergência. Aqui vamos usar dois critérios: o crité­rio de Leibniz (alternating series test) para verificar convergência condicional e um teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste de condensação de Cauchy).

Passo 2

Aplicando o critério de Leibniz para séries alternantes, definimos
a_{n}=\frac{1}{(\ln n)^{2}}.
Precisamos checar que para n suficientemente grande:
  1. a_{n}>0.
  2. a_{n} é decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
  4. É claro que a_{n}>0 para todo n\ge2.
  5. Considere f(x)=1/(\ln x)^{2} para x>1. Calculando a derivada,
f'(x) =-\frac{2}{(\ln x)^{3}}\cdot\frac{1}{x} <0 \quad\text{para }x>1,
logo f (e portanto a_{n}) é decrescente para n\ge2.
3.
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\ln n)^{2}} =0.
Pelos requisitos do critério de Leibniz, a série \sum(-1)^{n}a_{n} converge.

Passo 3

Agora testamos a convergência absoluta, ou seja, da série
\sum_{n=2}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}/(\ln n)^{2}\bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{2}}.
Usamos o teste de condensação de Cauchy: a série \sum a_{n} com a_{n} decrescente e positiva converge se, e somente se, convergir
\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}\,a_{2^{k}}.
Aqui
2^{k}a_{2^{k}} =2^{k}\frac{1}{(\ln2^{k})^{2}} =\frac{2^{k}}{(k\ln2)^{2}},
e a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k^{2}}
é evidentemente divergente (os termos crescem exponencialmente em k). Logo \sum1/(\ln n)^{2} diverge, isto é, não há convergência absoluta.

Passo 4

Como a série converge pelo critério de Leibniz (alternante) mas não converge absolutamente, concluímos que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{2}}
converge condicionalmente.

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