Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \sqrt{k^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\sqrt{k^{2}+1}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência de termos da série é a_k=\dfrac{1}{k\sqrt{k^{2}+1}}.
  • Os termos são positivos para todo k\ge 1.
  • A tarefa é dizer se \sum a_k converge e, caso converja, se converge absolutamente ou apenas condicionalmente.

Passo 2

Vou lembrar alguns conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Definição de convergência absoluta: a série \sum a_k é absolutamente convergente se a série \sum |a_k| converge. Se \sum a_k converge mas \sum |a_k| diverge, dizemos que é condicionalmente convergente. Se \sum a_k diverge, então é divergente.
  • Importante: quando todos os a_k são não negativos (como é o caso aqui), falar que \sum a_k converge já é o mesmo que dizer que ela é absolutamente convergente, porque |a_k|=a_k.
  • Teste comparativo direto (ideia): se 0\le a_k\le b_k para todo k suficientemente grande e \sum b_k converge, então \sum a_k também converge.
  • A série p (p-series): \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em especial, \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}} converge.

Passo 3

Usar a comparação direta com uma p-série simples. Primeiro uma desigualdade elementar:
para todo k\ge 1 vale
\sqrt{k^{2}+1}\ge \sqrt{k^{2}}=k.
Isso é óbvio porque somar 1 dentro da raiz aumenta o valor da raiz.

Passo 4

A partir da desigualdade do passo anterior obtemos, para k\ge 1,
\frac{1}{k\sqrt{k^{2}+1}}\le \frac{1}{k\cdot k}=\frac{1}{k^{2}}.
Ou seja, a_k\le \dfrac{1}{k^2} para todo k\ge1.

Passo 5

Sabendo que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}} converge (é uma p-série com p=2>1), aplicando o teste de comparação direto concluímos que a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\sqrt{k^{2}+1}}
também converge.

Passo 6

Como os termos a_k são positivos, |a_k|=a_k. Portanto a convergência da série implica convergência absoluta. (Se quisermos uma verificação alternativa: pelo teste da comparação limite com \dfrac{1}{k^2} temos
\lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{1}{k\sqrt{k^{2}+1}}}{\dfrac{1}{k^{2}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}}{k\sqrt{k^{2}+1}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k}{\sqrt{k^{2}+1}} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{k^{2}}}}=1,
que é um limite positivo finito; então, por esse teste, a série tem o mesmo comportamento da p-série \sum 1/k^{2}, isto é, converge.)

Passo 7

Conclusão: a série converge e, por ter termos não negativos, é absolutamente convergente. Força aí — essa é daquelas que caem redondinho com comparação com 1/k^2.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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