Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência de termos da série é
. - Os termos são positivos para todo
. - A tarefa é dizer se
converge e, caso converja, se converge absolutamente ou apenas condicionalmente.
Passo 2
Vou lembrar alguns conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
- Definição de convergência absoluta: a série
é absolutamente convergente se a série converge. Se converge mas diverge, dizemos que é condicionalmente convergente. Se diverge, então é divergente. - Importante: quando todos os
são não negativos (como é o caso aqui), falar que converge já é o mesmo que dizer que ela é absolutamente convergente, porque . - Teste comparativo direto (ideia): se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - A série p (p-series):
converge se, e somente se, . Em especial, converge.
Passo 3
Usar a comparação direta com uma p-série simples. Primeiro uma desigualdade elementar:
para todo vale
para todo
Isso é óbvio porque somar
dentro da raiz aumenta o valor da raiz.
Passo 4
A partir da desigualdade do passo anterior obtemos, para
,
Ou seja,
para todo
.
Passo 5
Sabendo que
converge (é uma p-série com
), aplicando o teste de comparação direto concluímos que a série
também converge.
Passo 6
Como os termos
são positivos,
. Portanto a convergência da série implica convergência absoluta. (Se quisermos uma verificação alternativa: pelo teste da comparação limite com
temos
que é um limite positivo finito; então, por esse teste, a série tem o mesmo comportamento da p-série
, isto é, converge.)
Passo 7
Conclusão: a série converge e, por ter termos não negativos, é absolutamente convergente. Força aí — essa é daquelas que caem redondinho com comparação com
.
Resposta
A série é absolutamente convergente.