Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é sobre
.
Objeto pedido:
- Classificar a série em uma das três categorias: absoluta, condicional ou divergente.
Passo 2
Observação inicial e definição útil (de forma simples): cada termo
é positivo para todo
. Isso implica duas coisas importantes que vou usar:
- O valor absoluto satisfaz
. - Portanto, se a série
convergir, ela já é absolutamente convergente (porque ). Não existe o caso “condicional” quando todos os termos são não negativos: condicional só aparece quando há sinais alternando e converge mas diverge.
Então o problema reduz-se a testar a convergência da série de termos positivos
.
Passo 3
Ideia prática: para grandes
, o termo
domina
(isso significa que
cresce muito mais rápido que
). Assim é natural comparar
com
, que é um termo de série geométrica convergente. Vou formalizar essa comparação.
Para todo
vale a desigualdade
logo, tomando recíprocos (todos positivos),
Passo 4
Agora lembro o teste de comparação (explicado de forma simples): se
para todo
e
converge, então
também converge. Aqui temos
.
A série
é uma série geométrica com razão
, e uma série geométrica com
converge. Mais concretamente,
mas só é importante saber que converge (o valor exato não é necessário para o teste).
Pelo teste de comparação, a série
converge.
Passo 5
Concluir sobre convergência absoluta/condicional: como todos os termos são não negativos,
. Logo
converge. Isso é exatamente a definição de convergência absoluta. Portanto a série é absolutamente convergente.
Como curiosidade rápida (método alternativo): poderia aplicar o teste da comparação-limite com
. Calcular
e como esse limite é finito e positivo,
tem o mesmo comportamento de
(que converge), confirmando a convergência.
Resposta
Absolutamente convergente.