Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{n+3^{n}}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Objeto pedido:
  • Classificar a série em uma das três categorias: absoluta, condicional ou divergente.

Passo 2

Observação inicial e definição útil (de forma simples): cada termo a_n=\dfrac{1}{n+3^{n}} é positivo para todo n. Isso implica duas coisas importantes que vou usar:
  • O valor absoluto satisfaz |a_n|=a_n.
  • Portanto, se a série \sum a_n convergir, ela já é absolutamente convergente (porque \sum |a_n|=\sum a_n). Não existe o caso “condicional” quando todos os termos são não negativos: condicional só aparece quando há sinais alternando e \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
Então o problema reduz-se a testar a convergência da série de termos positivos \sum a_n.

Passo 3

Ideia prática: para grandes n, o termo 3^{n} domina n (isso significa que 3^n cresce muito mais rápido que n). Assim é natural comparar \dfrac{1}{n+3^{n}} com \dfrac{1}{3^{n}}, que é um termo de série geométrica convergente. Vou formalizar essa comparação.
Para todo n\ge 1 vale a desigualdade
n+3^{n}\ge 3^{n},
logo, tomando recíprocos (todos positivos),
\frac{1}{n+3^{n}}\le \frac{1}{3^{n}}.

Passo 4

Agora lembro o teste de comparação (explicado de forma simples): se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui temos 0\le \dfrac{1}{n+3^{n}}\le \dfrac{1}{3^{n}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}, e uma série geométrica com |r|<1 converge. Mais concretamente,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2},
mas só é importante saber que converge (o valor exato não é necessário para o teste).
Pelo teste de comparação, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+3^{n}} converge.

Passo 5

Concluir sobre convergência absoluta/condicional: como todos os termos são não negativos, |a_n|=a_n. Logo \sum |a_n|=\sum a_n converge. Isso é exatamente a definição de convergência absoluta. Portanto a série é absolutamente convergente.
Como curiosidade rápida (método alternativo): poderia aplicar o teste da comparação-limite com b_n=1/3^n. Calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+3^{n})}{1/3^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{n+3^{n}}=1,
e como esse limite é finito e positivo, \sum a_n tem o mesmo comportamento de \sum b_n (que converge), confirmando a convergência.

Resposta

Absolutamente convergente.

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