Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+1,n^22^nn!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar primeiro o teste da razão na série de termos positivos
sumn=1^inftyn^22^nn!,
já que a convergência absoluta implica que a série original converge sem depender do sinal alternante.

Passo 2

Definimos
an=n^22^nn!
Queremos aplicar o teste da razão, ou seja, calcular
L=limntoinfty|an+1an|

Passo 3

Primeiro escrevemos
an+1 =(n+1)^22^,n+1(n+1)! e an =n^22^nn!
Logo,
|an+1an| =(n+1)^22^,n+1/(n+1)!n^22^n/n! =(n+1)^2n^2;2^,n+12^n;n!(n+1)! =(n+1)^2n^2;2;1n+1 =2(n+1)n^2
Agora calculamos o limite:
L =limntoinfty2(n+1)n^2 =limntoinftyl(2nn^2+2n^2r) =limntoinftyl(2n+2n^2r) =0
Como L<1, a série sum an converge.

Passo 4

A convergência de sum an significa que a série dos valores absolutos
sumn=1^inftyl|;(-1)^n+1n^22^nn!r| =sumn=1^inftyn^22^nn!
converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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