Verifique se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi}{1+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl((n+\tfrac12)\pi\bigr)}{1+\sqrt{n}}.
O conteúdo necessário envolve usar a identidade trigonométrica para \operatorname{sen}(n\pi+\tfrac\pi2) e em seguida aplicar o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}\bigl(n\pi+\tfrac\pi2\bigr) =\operatorname{sen}(n\pi)\cos\tfrac\pi2+\cos(n\pi)\operatorname{sen}\tfrac\pi2 =0+(-1)^{n}\cdot1 =(-1)^{n}.
Assim a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}.

Passo 3

Definimos b_{n}=\frac1{1+\sqrt{n}}. Observamos que:
  1. b_{n}>0 para todo n.
  2. b_{n+1}=\frac1{1+\sqrt{n+1}}<\frac1{1+\sqrt{n}}=b_{n}, ou seja, (b_{n}) é decrescente.
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+\sqrt{n}}=0.

Passo 4

Pelos critérios de Leibniz para séries alternadas (série da forma \sum(-1)^{n}b_{n} com b_{n} decrescente e b_{n}\to0), concluímos que
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}
é convergente.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=0}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}\biggr| =\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{1+\sqrt{n}}.
Como \tfrac1{1+\sqrt{n}}\sim\tfrac1{\sqrt{n}} quando n\to\infty e a série \sum n^{-\tfrac12} diverge p-série com p=\tfrac12<1, a série absoluta também diverge.

Resposta

A série é convergente, mas não absolutamente. Portanto ela converge condicionalmente.

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