Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular poderemos usar o teste da razão para séries de termos positivos.
Passo 2
Observamos que todos os termos
são não negativos, de modo que a convergência absoluta coincide com a convergência simples. Logo, basta mostrar que
é convergente.
Passo 3
Aplicamos o teste da razão. Seja
Calculamos
Quando
, temos
Como o limite é menor que
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Passo 4
Poderíamos também comparar com a série de Taylor de
, lembrando que
converge, e
implica
,
de onde a convergência por comparação direta.
de onde a convergência por comparação direta.
Resposta
A série é absolutamente convergente.