Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular poderemos usar o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Observamos que todos os termos \frac{1}{(2n)!} são não negativos, de modo que a convergência absoluta coincide com a convergência simples. Logo, basta mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}
é convergente.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão. Seja
a_n = \frac{1}{(2n)!}.
Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(2(n+1))!}}{\frac{1}{(2n)!}} = \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}.
Quando n \to \infty, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} \longrightarrow 0.
Como o limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Poderíamos também comparar com a série de Taylor de e^x, lembrando que
e^1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}
converge, e (2n)! \ge n! implica \frac{1}{(2n)!} \le \frac{1}{n!},
de onde a convergência por comparação direta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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