A trajetória de uma partícula é dada pela curva \gamma(t)=\left(t, \frac{1}{t+1}\right), t \in[0, \infty). Faça um esboço dessa trajetória exibindo os vetores velocidade e aceleração nos instantes t=0 e t=1.

Passo 1

Resumindo, temos a trajetória
\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\Bigl(t,\frac1{t+1}\Bigr),\quad t\in[0,\infty),
e o objetivo é desenhar seu gráfico no plano e marcar, nos instantes t=0 e t=1, os vetores velocidade \mathbf v(t)=\gamma'(t) e aceleração \mathbf a(t)=\gamma''(t).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para obter o vetor velocidade e a segunda para o vetor aceleração:
\mathbf v(t)=\gamma'(t)=\Bigl(x'(t),y'(t)\Bigr)=\Bigl(1,\,-\frac1{(t+1)^2}\Bigr),
\mathbf a(t)=\gamma''(t)=\Bigl(x''(t),y''(t)\Bigr)=\Bigl(0,\;\frac{2}{(t+1)^3}\Bigr).

Passo 3

Avaliação em t=0 e t=1:
Para t=0:
\gamma(0)=(0,1),\quad \mathbf v(0)=\bigl(1,-1\bigr),\quad \mathbf a(0)=\bigl(0,2\bigr).
Para t=1:
\gamma(1)=\bigl(1,\tfrac12\bigr),\quad \mathbf v(1)=\Bigl(1,-\tfrac14\Bigr),\quad \mathbf a(1)=\Bigl(0,\tfrac14\Bigr).

Passo 4

Análise qualitativa do traçado:
  • O gráfico é o ramo de y=1/(x+1) para x\ge0.
  • Começa em (0,1), decresce de forma convexa e aproxima‐se de y=0 quando x\to\infty.
  • Em cada ponto o vetor velocidade aponta principalmente para a direita e ligeiramente para baixo; o vetor aceleração é vertical para cima (pois x''(t)=0).

Passo 5

Esboço no plano (x,y):
• Desenhe o ramo de curva que parte em (0,1) e decresce suavemente em direção a y=0.
• No ponto (0,1), desenhe um vetor na direção (1,-1) ( 45\circ para baixo/direita) e um vetor vertical para cima, mais longo, representando (0,2).
• No ponto (1,\tfrac12), desenhe um vetor mais horizontal para baixo/direita representando \bigl(1,-\tfrac14\bigr) e um vetor vertical para cima menor, representando \bigl(0,\tfrac14\bigr).

Resposta

Nos instantes t=0 e t=1 os vetores são:
\gamma(0)=(0,1),\quad \mathbf v(0)=(1,-1),\quad \mathbf a(0)=(0,2),
\gamma(1)=(1,\tfrac12),\quad \mathbf v(1)=(1,-\tfrac14),\quad \mathbf a(1)=(0,\tfrac14).
O esboço mostra o ramo de y=1/(x+1) para x\ge0 com esses vetores desenhados nos dois pontos indicados.

Exercícios relacionados