Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
5 sumn=1^infty(n-1)^n-1 1raiz2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
5sumn=1^infty(n-1)^n-11raiz2n+1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência de séries e, em particular, o teste do termo geral, que exige que o termo geral tenda a zero para que a série possa convergir.

Passo 2

Para aplicar o teste do termo geral, considere o termo geral sem o 5:
an=(n-1)^n-11raiz2n+1
Calculamos
limntoinftyan=limntoinfty(n-1)^n-1raiz2n+1
Como (n-1)^n-1 cresce superexponencialmente em relação a raiz2n+1, esse limite é +infty, ou seja, não é zero.

Passo 3

Como o termo geral 5an também não tende a zero (fator constante não muda o limite), a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Pelo teste do termo geral, concluímos que a série diverge.

Resposta

Divergente

Exercícios relacionados