Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
7. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1} $
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série alternada abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve séries infinitas, teste de convergência absoluta (comparo) e critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Aplicando o teste da comparação limite com a série harmônica sum 1/n, temos
limntoinfty 1/(2n+1)1/n = limntoinfty n2n+1 = 12 neq 0
Como a série harmônica diverge, segue que sum 1/(2n+1) também diverge, logo a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para verificar a convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz à série original
sumn=1^infty (-1)^n+1 12n+1
Definimos an = 1/(2n+1). Observamos que an > 0, an+1 = 1/(2n+3) < an (sequência decrescente) e
limntoinfty an = limntoinfty 12n+1 = 0
Pelos requisitos do critério de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 4
Como a parte absoluta diverge e a parte alternada converge, a série é condicionalmente convergente.