Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^{k} \frac{\ln k}{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{\ln k}{k}.
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz (séries alternadas): para uma série \sum(-1)^k a_k com a_k>0, se a_k é decrescente e \lim_{k\to\infty}a_k=0, então a série converge.

Passo 2

Definimos
a_k = \frac{\ln k}{k},\quad k\ge3.
Primeiro, mostramos que \lim_{k\to\infty}a_k=0. Como \ln k cresce mais lentamente que k, vale
\lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{k}=0.

Passo 3

Agora verificamos que a_k é decrescente para k\ge3. Considere a função contínua em [3,\infty)
f(x)=\frac{\ln x}{x}.
Seu derivado é
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.
Para x\ge3 temos \ln x\ge\ln3>1, logo 1-\ln x<0 e f'(x)<0. Portanto f é decrescente e, em particular, a sequência a_k=f(k) também é decrescente.

Passo 4

Como a_k>0, \lim_{k\to\infty}a_k=0 e a_k é decrescente para k\ge3, pelo Critério de Leibniz a série
\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^{k}a_k
converge. Além disso, a soma dos valores absolutos
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{\ln k}{k}
diverge (por exemplo, pelo teste da integral de \int_{3}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx), de modo que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Critério de Leibniz.

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