Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz (séries alternadas): para uma série
com
, se
é decrescente e
, então a série converge.
Passo 2
Definimos
Primeiro, mostramos que
. Como
cresce mais lentamente que
, vale
Passo 3
Agora verificamos que
é decrescente para
. Considere a função contínua em
Seu derivado é
Para
temos
, logo
e
. Portanto
é decrescente e, em particular, a sequência
também é decrescente.
Passo 4
Como
,
e
é decrescente para
, pelo Critério de Leibniz a série
converge. Além disso, a soma dos valores absolutos
diverge (por exemplo, pelo teste da integral de
), de modo que a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Critério de Leibniz.