Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{2^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão (Teorema 9.6.5) à série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{2^{k}}{k!}
mas usando os termos em módulo, isto é, verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral em módulo como
a_k = \left|(-1)^{k+1}\frac{2^k}{k!}\right| = \frac{2^k}{k!}.
Vamos calcular o quociente \frac{a_{k+1}}{a_k}.

Passo 3

Escrevendo o quociente, temos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{2^k}{k!}} = \frac{2^{k+1}}{(k+1)!}\,\frac{k!}{2^k} = \frac{2}{k+1}.

Passo 4

Agora analisamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{2}{k+1} = 0.
Como L=0<1, o teste da razão garante que \sum a_k converge.

Passo 5

Logo, a série de módulos \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k!} converge, o que implica convergência absoluta da série original.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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