Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{5}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{5}\right)^{k}
usando o teste da razão para convergência absoluta (Teorema 9.6.5). Para isso, definimos
a_{k} = \left(-\frac{3}{5}\right)^{k}
e aplicaremos o teste à série de termos positivos \sum |a_k|.

Passo 2

Calculamos o limite
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^{k+1}}{\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^{k}}\right| = \left|-\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}.
Como L = \tfrac{3}{5} < 1, o teste da razão garante que \sum |a_k| converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge) pelo teste da razão, pois \frac{3}{5}<1.

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