Use o teste de comparação para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}
é convergente ou divergente usando o teste de comparação. Lembrando que esse teste diz: se 0 \le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.

Passo 2

Vamos escolher uma série geométrica \sum b_n convergente de termo geral simples, por exemplo
b_n = \frac{1}{2^{\,n-1}}.
Para usar o teste, precisamos ver que
\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{\,n-1}}
para todo n\ge1. De fato,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n
e, para n\ge2, cada fator de 2 até n é pelo menos 2. Logo
n! = 1\cdot(2\cdot3\cdots n)\ge 1\cdot 2^{\,n-1}=2^{\,n-1}.

Passo 3

Dessa forma conseguimos a desigualdade
0 \;\le\; \frac{1}{n!}\;\le\;\frac{1}{2^{\,n-1}}
para todo n\ge1.

Passo 4

Sabemos que a série geométrica de razão r=\tfrac12 converge, pois |r|<1. Mais precisamente,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}} =\frac{1}{1-\tfrac12}=2.

Passo 5

Como \tfrac1{n!}\le\tfrac1{2^{\,n-1}} e \sum 1/2^{\,n-1} converge, o teste de comparação implica que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} é convergente.

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