Use o teste de comparação no limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2 n-1)\left(n^{2}-1\right)}{(n+1)\left(n^{2}+4\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{(2n-1)\,(n^2-1)}{(n+1)\,(n^2+4)^2},
usando o teste de comparação no limite. O conteúdo aqui é reconhecer o comportamento assintótico de a_n e compará-lo a uma série p-série conhecida.

Passo 2

Para usar o teste de comparação no limite, primeiro identificamos o termo dominante de a_n quando n\to\infty. Note que
(2n-1)(n^2-1)=2n^3 + O(n^2), \quad (n+1)(n^2+4)^2 = n\,(n^4 + O(n^2)) = n^5 + O(n^3).
Logo, para n grande,
a_n \sim \frac{2n^3}{n^5} = \frac{2}{n^2}.

Passo 3

Definimos a série comparadora
\sum_{n=1}^{\infty} b_n, \quad b_n = \frac{1}{n^2}.
Sabemos que \sum b_n converge, pois é uma p-série com p=2>1.

Passo 4

Aplicamos o teste de comparação no limite calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{(2n-1)(n^2-1)}{(n+1)(n^2+4)^2}}{\displaystyle\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)(n^2-1)\,n^2}{(n+1)(n^2+4)^2}.
Como já vimos que o numerador principal é 2n^5 + O(n^4) e o denominador principal é n^5 + O(n^4), obtemos
L = 2.

Passo 5

O valor L=2 é finito e estritamente positivo. Pelo teste de comparação no limite, segue que \sum a_n converge pois \sum b_n converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados