Use o teste de comparação no limite para determinar se a série é convergente ou divergente.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste de comparação no limite. O conteúdo aqui é reconhecer o comportamento assintótico de
e compará-lo a uma série p-série conhecida.
Passo 2
Para usar o teste de comparação no limite, primeiro identificamos o termo dominante de
quando
. Note que
Logo, para
grande,
Passo 3
Definimos a série comparadora
Sabemos que
converge, pois é uma p-série com
.
Passo 4
Aplicamos o teste de comparação no limite calculando
Como já vimos que o numerador principal é
e o denominador principal é
, obtemos
Passo 5
O valor
é finito e estritamente positivo. Pelo teste de comparação no limite, segue que
converge pois
converge.
Resposta
A série é convergente.