Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente e, se for convergente, obter a sua soma. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A série é a soma sobre
do termo . - Podemos separar o termo em duas parcelas e, portanto, a série pode ser escrita como a soma de duas séries:
Não vou resolver nada neste passo — só deixando claro o que é pedido e quais são os dados.
Passo 2
Vamos recordar (e provar rapidinho) a fórmula e o critério de convergência da série geométrica, porque ela será a ferramenta principal aqui.
Definição prática: uma série geométrica tem termos da forma
ou
. A soma parcial dos
primeiros termos de uma progressão geométrica com razão
e primeiro termo
é
Multiplicando por
obtemos a identidade clássica
Daí
Se
, então
quando
, e a soma infinita existe:
Também é útil a forma
Portanto, para testar convergência e calcular soma, identificamos razões
e verificamos
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao primeiro termo separado. Observe:
Aqui a razão é
. Como
, a série geométrica converge. Usando a fórmula
obtemos
Multiplicando pelo fator
que estava fora,
Passo 4
Agora o segundo termo separado:
Aqui a razão é
. Como
, essa série geométrica também converge. Usando a mesma fórmula,
Multiplicando pelo fator
,
Passo 5
Como ambas as séries separadas convergem, a soma da série original é a soma das duas somas parciais. (Uma observação pedagógica: ambas convergem absolutamente, portanto a separação e a recombinação são seguras — mas já bastou mostrar a convergência direta através das razões.)
Somando os resultados dos Passos 3 e 4:
Fazendo a conta com denominador comum
:
Resposta
A série converge.
Soma =
Soma =