Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}}
é convergente ou divergente e, se for convergente, obter a sua soma. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  1. A série é a soma sobre n=1,2,\dots do termo \dfrac{2^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}}.
  2. Podemos separar o termo em duas parcelas e, portanto, a série pode ser escrita como a soma de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n+1}} \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n+1}}.
Não vou resolver nada neste passo — só deixando claro o que é pedido e quais são os dados.

Passo 2

Vamos recordar (e provar rapidinho) a fórmula e o critério de convergência da série geométrica, porque ela será a ferramenta principal aqui.
Definição prática: uma série geométrica tem termos da forma ar^{n-1} ou r^{n}. A soma parcial dos N primeiros termos de uma progressão geométrica com razão r e primeiro termo a é
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N-1}.
Multiplicando por (1-r) obtemos a identidade clássica
(1-r)S_N = a(1-r^N).
Daí
S_N = a\frac{1-r^N}{1-r}\quad\text{(para }r\neq 1\text{)}.
Se |r|<1, então r^N\to 0 quando N\to\infty, e a soma infinita existe:
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{a}{1-r}.
Também é útil a forma
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}\quad\text{se }|r|<1.
Portanto, para testar convergência e calcular soma, identificamos razões r e verificamos |r|<1.

Passo 3

Aplicando a ideia ao primeiro termo separado. Observe:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Aqui a razão é r=\dfrac{2}{3}. Como |r|=\dfrac{2}{3}<1, a série geométrica converge. Usando a fórmula \sum_{n=1}^{\infty} r^n = \dfrac{r}{1-r} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} = \frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 2.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} que estava fora,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}.

Passo 4

Agora o segundo termo separado:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}.
Aqui a razão é r=-\dfrac{1}{3}. Como |r|=\dfrac{1}{3}<1, essa série geométrica também converge. Usando a mesma fórmula,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1-(-\tfrac{1}{3})} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}} = -\frac{1}{4}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3},
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{12}.

Passo 5

Como ambas as séries separadas convergem, a soma da série original é a soma das duas somas parciais. (Uma observação pedagógica: ambas convergem absolutamente, portanto a separação e a recombinação são seguras — mas já bastou mostrar a convergência direta através das razões.)
Somando os resultados dos Passos 3 e 4:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{12}\right).
Fazendo a conta com denominador comum 12:
\frac{2}{3} = \frac{8}{12},\qquad \frac{8}{12}-\frac{1}{12}=\frac{7}{12}.

Resposta

A série converge.
Soma = \dfrac{7}{12}

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