Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Identificamos o termo geral na forma alternada
com
Devemos verificar que
, que
é monótono decrescente e que
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente e tende a zero:
- Para decrescimento, note que para todo
- Para o limite,
Passo 4
Pelo teste de Leibniz (ou critério de séries alternadas), como
é decrescente para
grande e
, concluímos que
é convergente.
Passo 5
Verificamos a convergência absoluta:
que diverge (série harmônica). Logo a convergência não é absoluta, mas condicional.
Resposta
A série é convergente de forma condicional.