Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 12 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^+infty(-1)^n+112n
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Identificamos o termo geral na forma alternada
an = (-1)^n+1bn
com
bn = 12n
Devemos verificar que bn>0, que bn é monótono decrescente e que limntoinftybn=0.

Passo 3

Mostramos que bn é decrescente e tende a zero:
  1. Para decrescimento, note que para todo n>=1 bn+1 = 12(n+1) < 12n = bn
  2. Para o limite, limntoinftybn = limntoinfty12n = 0

Passo 4

Pelo teste de Leibniz (ou critério de séries alternadas), como bn é decrescente para n grande e lim bn=0, concluímos que
sumn=1^+infty(-1)^n+1bn
é convergente.

Passo 5

Verificamos a convergência absoluta:
sumn=1^+inftyl|(-1)^n+1tfrac12nr| = sumn=1^+infty12n = tfrac12sumn=1^+infty1n,
que diverge (série harmônica). Logo a convergência não é absoluta, mas condicional.

Resposta

A série é convergente de forma condicional.

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