Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar (i) que os termos em módulo
são positivos e monotonicamente decrescentes e (ii) que
.
Passo 2
Verificamos a monotonicidade de
. Note que a função contínua
tem derivada
logo
é decrescente em
. Assim, para todo
vale
ou seja,
é decrescente.
Passo 3
Calculamos o limite de
. Como o termo dominante no denominador é
,
Passo 4
Pelos critérios do teste de Leibniz, uma série alternada com termos positivos decrescentes que tendem a zero converge. Além disso, como
é convergente por comparação com a série
(p-série com
), nossa série original converge até mesmo absolutamente.
Resposta
A série
converge (absolutamente).