Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n 3n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n3n^2+1
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar (i) que os termos em módulo
an=3n^2+1
são positivos e monotonicamente decrescentes e (ii) que limntoinftyan=0.

Passo 2

Verificamos a monotonicidade de an. Note que a função contínua
f(x)=3x^2+1
tem derivada
f'(x)=-6x(x^2+1)^2<0para x>0,
logo f é decrescente em [1,infty). Assim, para todo n>=1 vale
an+1=3(n+1)^2+1<3n^2+1=an,
ou seja, (an) é decrescente.

Passo 3

Calculamos o limite de an. Como o termo dominante no denominador é n^2,
limntoinftyan =limntoinfty3n^2+1 =0

Passo 4

Pelos critérios do teste de Leibniz, uma série alternada com termos positivos decrescentes que tendem a zero converge. Além disso, como
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty3n^2+1
é convergente por comparação com a série 3sum1/n^2 (p-série com p=2>1), nossa série original converge até mesmo absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n3n^2+1 converge (absolutamente).

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