Seja
uma função de duas variáveis.
Esboce as curvas de nível de
.
Esboce as curvas de nível de
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função de duas variáveis
e queremos esboçar suas curvas de nível, isto é, os conjuntos de pontos
tais que
para cada constante
. Para isso usaremos propriedades de exponencial e logaritmo para encontrar a forma geométrica dessas curvas.
Passo 2
Para um nível fixo
a condição é
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos
Passo 3
A equação
com
constante, define no plano cartesiano uma hipérbole retângulo (ou equilátera). Podemos reescrever como
Passo 4
Analisando o parâmetro
:
Se
(ou seja,
), a hipérbole tem ramos nos quadrantes primeiro e terceiro.
Se
(ou seja,
), os ramos ficam nos quadrantes segundo e quarto.
Se
(ou seja,
), a equação vira
, isto é, as retas
e
.
Passo 5
Para esboçar, basta desenhar algumas hipérboles
com
. A curva
aparece no
\textsuperscript{o} e
\textsuperscript{o} quadrantes,
são os eixos, e
no
\textsuperscript{o} e
\textsuperscript{o} quadrantes. Essas representam os níveis
, respectivamente.
Resposta
As curvas de nível de
são as hipérboles
ou seja,
com
. Para
elas ocupam os
º e
º quadrantes, para
os
º e
º, e em
reduzem-se aos eixos coordenados.