Seja f(x, y)=e^x y uma função de duas variáveis.
Esboce as curvas de nível de f.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função de duas variáveis
f(x,y)=e^xy
e queremos esboçar suas curvas de nível, isto é, os conjuntos de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c para cada constante c>0. Para isso usaremos propriedades de exponencial e logaritmo para encontrar a forma geométrica dessas curvas.

Passo 2

Para um nível fixo c>0 a condição é
e^xy=c
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos
xy = ln c

Passo 3

A equação
xy = a,
com a=ln c constante, define no plano cartesiano uma hipérbole retângulo (ou equilátera). Podemos reescrever como
y = ax

Passo 4

Analisando o parâmetro a=ln c:
bul<=t Se a>0 (ou seja, c>1), a hipérbole tem ramos nos quadrantes primeiro e terceiro.
bul<=t Se a<0 (ou seja, 0<c<1), os ramos ficam nos quadrantes segundo e quarto.
bul<=t Se a=0 (ou seja, c=1), a equação vira xy=0, isto é, as retas x=0 e y=0.

Passo 5

Para esboçar, basta desenhar algumas hipérboles xy=a com a=-1,0,1. A curva xy=-1 aparece no 2\textsuperscript{o} e 4\textsuperscript{o} quadrantes, xy=0 são os eixos, e xy=1 no 1\textsuperscript{o} e 3\textsuperscript{o} quadrantes. Essas representam os níveis c=e^-1,,1,,e^1, respectivamente.

Resposta

As curvas de nível de f são as hipérboles
xy = ln c,
ou seja,
y=ln cx,
com c>0. Para c>1 elas ocupam os 1º e 3º quadrantes, para 0<c<1 os 2º e 4º, e em c=1 reduzem-se aos eixos coordenados.

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