Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige comparar a série com a integral de uma função contínua, positiva e decrescente.
Passo 2
Definimos a função contínua
Precisamos verificar que é positiva e decrescente para . Claramente e . Para a monotonia, calculamos
Para vale , logo
o que faz o numerador negativo. Assim em e é decrescente.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando
Fazemos a substituição , de modo que . Então
que é finito.
Passo 4
Como integral1^inftyf(x),dx converge e f é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), pelo teste da integral a série