Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty arctgnn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
sumn=1^inftyarctan(n)n^2+1
O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige comparar a série com a integral de uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função contínua
f(x)=arctan(x)x^2+1, x>=1
Precisamos verificar que f(x) é positiva e decrescente para x>=1. Claramente arctan(x)>0 e x^2+1>0. Para a monotonia, calculamos
f'(x) =11+x^2,(x^2+1)-arctan(x),2x(x^2+1)^2 =1-2x,arctan(x)(x^2+1)^2
Para x>=1 vale arctan(x)>=arctan(1)=pi/4, logo
2x,arctan(x)>=2cdot1cdotpi4=pi2>1,
o que faz o numerador 1-2xarctan(x) negativo. Assim f'(x)<0 em [1,infty) e f é decrescente.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando
integral1^inftyarctan(x)x^2+1,dx
Fazemos a substituição u=arctan(x), de modo que du=dxx^2+1. Então
integral1^inftyarctan(x)x^2+1,dx =integralu=arctan(1)^u=limxtoinftyarctan(x)u,du =integralpi/4^pi/2u,du =u^22|pi/4^pi/2 =(pi/2)^2-(pi/4)^22 =3pi^232,
que é finito.

Passo 4

Como integral1^inftyf(x),dx converge e f é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), pelo teste da integral a série
sumn=1^inftyarctan(n)n^2+1
converge.

Resposta

A série é convergente.

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