Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n 3^nn^2

Passo 1

Resumindo, temos a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n,3^nn^2
que pede para testar convergência. Vamos usar o teste do termo geral (é necessário que o termo vá a zero) e, para reforçar, o teste da razão.

Passo 2

Pelo teste do termo geral, se a série convergisse precisaríamos de
limntoinfty(-1)^n,3^nn^2=0.
Mas
3^nn^2to+infty
quando ntoinfty, logo
limntoinfty(-1)^n,3^nn^2
não existe como zero. Portanto a série diverge.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da razão aos valores absolutos an=3^nn^2:
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty3^n+1/(n+1)^23^n/n^2 =3limntoinftyn^2(n+1)^2 =3>1
Como L>1, a série diverge absolutamente (e portanto diverge em geral).

Resposta

A série é divergente.

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