Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^+infty(-1)^n+1ln nn^2
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries, em particular o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (via integral ou comparação).

Passo 2

Definimos
an=ln nn^2
Primeiro cheque:
limntoinftyan =limntoinftyln nn^2 =0,
pois n^2 cresce muito mais rápido que ln n.

Passo 3

Agora verificamos que an é monotonicamente decrescente a partir de certo ponto. Considere a função
f(x)=ln xx^2, x>1
Calculando a derivada:
f'(x) =1xcdot x^2-ln xcdot2xx^4 =1-2ln xx^2
Como f'(x)<0 sempre que ln x>1/2 (isto é, x>e^1/2approx1,65), segue que para todo n>=2 temos an+1<an.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz (série alternada com an>0, an decrescente e lim an=0), a série
sumn=1^+infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, considere
sumn=1^+inftyl|(-1)^n+1anr| =sumn=1^+inftyln nn^2
Aplicando o teste da integral:
integral1^inftyln xx^2,dx
fazendo integração por partes mostra-se que o integral é finito. Logo sumln n/n^2 converge, o que implica convergência absoluta da série original.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Exercícios relacionados