Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries, em particular o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (via integral ou comparação).
Passo 2
Definimos
Primeiro cheque:
pois cresce muito mais rápido que .
Passo 3
Agora verificamos que é monotonicamente decrescente a partir de certo ponto. Considere a função
Calculando a derivada:
Como sempre que (isto é, ), segue que para todo temos .
Passo 4
Pelo critério de Leibniz (série alternada com , decrescente e ), a série
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, considere
Aplicando o teste da integral:
integral1^inftyln xx^2,dx
fazendo integração por partes mostra-se que o integral é finito. Logo sumln n/n^2 converge, o que implica convergência absoluta da série original.
Resposta
A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.