Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série
converge ou diverge. A matéria que a gente vai usar aqui é sobre séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão
. Como
é bem maior que
quando
cresce, podemos dizer que
é aproximadamente igual a
. Então,
fica parecendo
.
Passo 3
Agora, a gente sabe que a série
é a famosa série harmônica e ela diverge. Mas queremos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar os termos das duas séries:
Como cada termo da nossa série é menor que o termo correspondente da série harmônica, e a série harmônica diverge, o Teste da Comparação nos diz que isso não nos dá uma conclusão direta. Então, vamos tentar o Teste da Comparação Limitada.
Passo 4
Vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
Como o limite é uma constante positiva (1), e a série com a qual estamos comparando (
) diverge, pelo Teste da Comparação Limitada, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.