Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1n+raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série sumn=1^+infty 1n+raizn converge ou diverge. A matéria que a gente vai usar aqui é sobre séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão 1n+raizn. Como n é bem maior que raizn quando n cresce, podemos dizer que n + raizn é aproximadamente igual a n. Então, 1n+raizn fica parecendo 1n.

Passo 3

Agora, a gente sabe que a série sumn=1^+infty 1n é a famosa série harmônica e ela diverge. Mas queremos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar os termos das duas séries:
1n+raizn < 1n
Como cada termo da nossa série é menor que o termo correspondente da série harmônica, e a série harmônica diverge, o Teste da Comparação nos diz que isso não nos dá uma conclusão direta. Então, vamos tentar o Teste da Comparação Limitada.

Passo 4

Vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
limn to +infty 1n+raizn1n = limn to +infty nn+raizn = limn to +infty 11+raiznn = 11+0 = 1
Como o limite é uma constante positiva (1), e a série com a qual estamos comparando ( sum 1n) diverge, pelo Teste da Comparação Limitada, a nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1n+raizn diverge.

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