Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n !

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumn=1^+infty(-1)^n+11n!
O tema aqui é séries alternadas e convergência absoluta. Vamos usar o teste de Leibniz (teste da série alternada) e também verificar convergência absoluta via teste da razão.

Passo 2

Verificamos primeiro se os termos gerais tendem a zero, condição necessária para qualquer série convergente. O termo geral em valor absoluto é
an = 1n!
Como limnto+inftyn!=+infty, temos
limnto+inftyan = limnto+infty1n! = 0

Passo 3

Mostramos que (an) é decrescente para n suficientemente grande. De fato, para todo n>=1,
1(n+1)! = 1(n+1),n! < 1n!,
logo an+1<an.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes e tendendo a zero), concluímos que
sumn=1^+infty(-1)^n+11n!
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, aplicamos o teste da razão à série de termos positivos sum1/n!. Seja
L = limnto+infty|1/(n+1)!1/n!| = limnto+infty1n+1 = 0
Como L<1, a série sumn=1^+infty1/n! converge absolutamente. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente e, na verdade, converge absolutamente.

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