Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
O tema aqui é séries alternadas e convergência absoluta. Vamos usar o teste de Leibniz (teste da série alternada) e também verificar convergência absoluta via teste da razão.
Passo 2
Verificamos primeiro se os termos gerais tendem a zero, condição necessária para qualquer série convergente. O termo geral em valor absoluto é
Como , temos
Passo 3
Mostramos que é decrescente para suficientemente grande. De fato, para todo ,
logo .
Passo 4
Pelo teste de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes e tendendo a zero), concluímos que
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, aplicamos o teste da razão à série de termos positivos . Seja
Como L<1, a série sumn=1^+infty1/n! converge absolutamente. Portanto, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série é convergente e, na verdade, converge absolutamente.