Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
2.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}.
A pergunta é: determinar se essa série é convergente ou divergente. Vou listar o que temos de informação útil:
  • O termo geral é a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{1}{n^{2}}.
  • O módulo do termo geral é |a_{n}|=\dfrac{1}{n^{2}}.
  • Precisamos decidir convergência (ou divergência) da série de termos a_{n}.

Passo 2

Explicando conceitos importantes (em linguagem simples):
  • Uma série \sum a_{n} converge se a sequência de somas parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n} tem limite finito quando N\to\infty.
  • Convergência absoluta: se a série \sum |a_{n}| converge, então \sum a_{n} converge (dizemos que converge absolutamente). Convergência absoluta é uma forma forte de convergência — garante convergência mesmo que os sinais oscilem.
  • Há também o teste das séries alternadas (teste de Leibniz): se b_{n}\ge 0, b_{n} é monótona decrescente e \lim_{n\to\infty} b_{n}=0, então \sum (-1)^{n} b_{n} converge. Esse teste é útil quando não sabemos sobre a soma dos módulos, mas no nosso caso podemos usar a convergência absoluta.

Passo 3

Vamos analisar a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Essa é uma série do tipo “p-série” com p=2: \sum 1/n^{p}. O teste padrão diz que a p-série converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2>1, portanto a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge.
Para ver isso de forma elementar (sem afirmar apenas o resultado pronto), podemos usar o teste da integral: a função f(x)=1/x^{2} é contínua, positiva e decrescente para x\ge 1. Então a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx converge. Calculando a integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1.
Como a integral converge (vale 1), a p-série com p=2 converge. Concluímos que \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| converge.

Passo 4

Conseqüência direta: como \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n^{2}} converge absolutamente. Pela definição, convergência absoluta implica convergência (simples) da série.

Passo 5

Comentário didático extra (útil para prova): poderia também aplicar o teste das séries alternadas para verificar convergência simples. Observe que b_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} satisfaz \lim_{n\to\infty}b_{n}=0 e é decrescente em n; portanto \sum (-1)^{n}b_{n} converge por Leibniz. Mas como já mostramos convergência da série dos módulos, sabemos ainda mais: a convergência é absoluta.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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