Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
2.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{1}{n^{2}}
2.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{1}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
A pergunta é: determinar se essa série é convergente ou divergente. Vou listar o que temos de informação útil:
- O termo geral é
. - O módulo do termo geral é
. - Precisamos decidir convergência (ou divergência) da série de termos
.
Passo 2
Explicando conceitos importantes (em linguagem simples):
- Uma série
converge se a sequência de somas parciais tem limite finito quando . - Convergência absoluta: se a série
converge, então converge (dizemos que converge absolutamente). Convergência absoluta é uma forma forte de convergência — garante convergência mesmo que os sinais oscilem. - Há também o teste das séries alternadas (teste de Leibniz): se
, é monótona decrescente e , então converge. Esse teste é útil quando não sabemos sobre a soma dos módulos, mas no nosso caso podemos usar a convergência absoluta.
Passo 3
Vamos analisar a série dos módulos:
Essa é uma série do tipo “p-série” com
:
. O teste padrão diz que a p-série converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto a série
converge.
Para ver isso de forma elementar (sem afirmar apenas o resultado pronto), podemos usar o teste da integral: a função
é contínua, positiva e decrescente para
. Então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Calculando a integral:
Como a integral converge (vale
), a p-série com
converge. Concluímos que
converge.
Passo 4
Conseqüência direta: como
converge, a série original
converge absolutamente. Pela definição, convergência absoluta implica convergência (simples) da série.
Passo 5
Comentário didático extra (útil para prova): poderia também aplicar o teste das séries alternadas para verificar convergência simples. Observe que
satisfaz
e é decrescente em
; portanto
converge por Leibniz. Mas como já mostramos convergência da série dos módulos, sabemos ainda mais: a convergência é absoluta.
Resposta
Convergente (convergência absoluta)