Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
1.
\sum_{n=1}{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right){n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
e pede que se determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, com prova. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n.
  • A soma é tomada de n=1 até n\to+\infty.
  • A pergunta é exclusivamente sobre o tipo de convergência (absoluta / condicional / divergente).

Passo 2

Reconhecer o tipo da série a partir do termo geral. Observa-se que o termo tem a forma a_n=r^n com
r=-\frac{2}{3}.
Séries da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^n são séries geométricas. Uma propriedade fundamental da série geométrica é:
se |r|<1 então a série geométrica converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}.
Vou justificar rapidamente essa fórmula (é um truque padrão, útil para a prova na prova):
  • Seja S_N=\sum_{n=1}^{N} r^n = r + r^2 + \cdots + r^N.
  • Multiplicando por 1-r obtém-se
(1-r)S_N = r - r^{N+1}.
  • Então
S_N = \frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
  • Se |r|<1 então r^{N}\to0 quando N\to\infty, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{r}{1-r}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: r=-\dfrac{2}{3} tem módulo
|r|=\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1.
Pelo critério da série geométrica com |r|<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n converge. Para referência, a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^n = \frac{-\tfrac{2}{3}}{1-(-\tfrac{2}{3})} = \frac{-\tfrac{2}{3}}{1+\tfrac{2}{3}} = \frac{-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{5}{3}} = -\frac{2}{5}.

Passo 4

Agora analisar a convergência absoluta. A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge, isto é, se
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \left|\left(-\frac{2}{3}\right)^n\right|
converge. Calculando o valor absoluto do termo:
\left|\left(-\frac{2}{3}\right)^n\right| = \left(\frac{2}{3}\right)^n.
Portanto a série dos módulos é
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n,
que também é uma série geométrica com razão r=\dfrac{2}{3} e |r|=\dfrac{2}{3}<1. Pelo resultado da série geométrica, ela converge. Em particular,
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 2.

Passo 5

Concluir usando um teorema padrão: se \sum |a_n| converge então \sum a_n converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Temos mostrado que \sum |a_n| converge (vale 2), logo a série original converge de forma absoluta. Convergência absoluta significa que não se trata de convergência condicional; é uma convergência mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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