Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
1.
\sum_{n=1}{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right){n}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
e pede que se determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, com prova. Informações relevantes fornecidas:
O termo geral da série é a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n.
A soma é tomada de n=1 até n\to+\infty.
A pergunta é exclusivamente sobre o tipo de convergência (absoluta / condicional / divergente).
Passo 2
Reconhecer o tipo da série a partir do termo geral. Observa-se que o termo tem a forma a_n=r^n com
r=-\frac{2}{3}.
Séries da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^n são séries geométricas. Uma propriedade fundamental da série geométrica é:
se |r|<1 então a série geométrica converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}.
Vou justificar rapidamente essa fórmula (é um truque padrão, útil para a prova na prova):
Seja S_N=\sum_{n=1}^{N} r^n = r + r^2 + \cdots + r^N.
Multiplicando por 1-r obtém-se
(1-r)S_N = r - r^{N+1}.
Então
S_N = \frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1 então r^{N}\to0 quando N\to\infty, portanto
Concluir usando um teorema padrão: se \sum |a_n| converge então \sum a_n converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Temos mostrado que \sum |a_n| converge (vale 2), logo a série original converge de forma absoluta. Convergência absoluta significa que não se trata de convergência condicional; é uma convergência mais forte.